Contributo de Arquimedes
Arquimedes soluciona o problema por um problema de construção por nêusis – a inserção de um segmento de reta de comprimento pré-definido entre duas curvas, de modo a que um ponto fixo se encontre ou nesse segmento ou no seu prolongamento.
Justificação
Uma vez que as retas BG e FA são paralelas, os ângulos GBC e DFB são geometricamente iguais (ângulos agudos de lados paralelos). Por outro lado, os ângulos BAF e ABG são geometricamente iguais (ângulos alternos internos). Como FD, DB e AB são geometricamente iguais (medida igual ao raio da circunferência), os triângulos BAD e FBD são isósceles, então os ângulos DFB e FBD são geometricamente iguais e de igual modo são geometricamente iguais os ângulos BAD e ADB. Ora, ADB é um ângulo externo ao triângulo FBD, portanto, ADB é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes, FBD e DFB que são geometricamente iguais. Assim, o ângulo BAD (que é geometricamente igual a ADB) é o dobro do ângulo DFB, ou seja, o ângulo ABG é o dobro do ângulo GBC (geometricamente igual ao ângulo DFB), logo o ângulo GBC é a terça parte do ângulo ABC.
Concóide de Nicomedes
Caso particular:
Concóide de uma reta: considera-se uma reta l, um ponto O exterior à reta e uma circunferência C com o centro P sobre a reta l e cujo raio seja igual a uma distância previamente definida k.
Considere-se agora que a circunferência se move ao longo da reta l (designada por Nicomedes por régua) e trace-se uma reta que une o ponto O (designado por Nicomedes por polo) ao ponto P, em que os pontos Q1 e Q2 são os pontos de interseção dessa reta com a circunferência. Quando a circunferência se move, os pontos Q1 e Q2 desenham os dois ramos da concóide.
Justificação
Designe-se por M, o ponto médio do segmento DE. Uma vez que a reta DE interseta as retas GE e BC, os ângulos alternos internos MEG e DBC são geometricamente iguais. Por outro lado, o ângulo EGD pode ser inscrito numa semicircunferência de diâmetro DE e centro M (isto porque o ângulo EGD é reto). Logo, os segmentos ME e MG são iguais e, portanto, o triângulo GME é isósceles. Como DE é o dobro do comprimento de BG, M é o ponto médio de DE e BG é igual a GM, o triângulo GBM é isósceles, portanto, os ângulos GBM e BMG são geometricamente iguais. Ora, o ângulo BMG é um ângulo externo ao triângulo GME, logo o ângulo BMG é o dobro do ângulo MEG (ou do ângulo EGM). Como o ângulo GBD é geometricamente igual ao ângulo BMG, o ângulo DBC é metade do ângulo GBD, logo o ângulo DBC é a terça parte do ângulo GBC.
Trissetriz de Hípias
O processo de construção da trissetriz é cinemático, uma vez que a curva é obtida pelos pontos que são a interseção de dois segmentos de reta em movimento uniforme. Para a sua construção, considera-se um quadrado BB’C’C e constrói-se uma linha m, paralela ao lado B’C’ que gradualmente desce, a uma velocidade constante, desde a sua posição inicial (que é coincidente com o lado B’C’) até coincidir com o lado BC. Ao mesmo tempo, o lado BB’ roda, com movimento circular uniforme, em torno do ponto B, desde a posição inicial BB’ até à posição final coincidente com o lado BC. Ambos os movimentos descritos têm velocidades constantes e iniciam e terminam ao mesmo tempo.
Designando por E e N os pontos de interseção do arco B’C com as retas BA e BL e por T e S os pontos de interseção do lado CC’ com as retas PA e RL, respetivamente. Observe-se que PT e BE se intersetam num ponto da trissetriz, A, e que RS e BN se intersetam num outro ponto da trissetriz, L.
Do modo como foram considerados os movimentos para a construção da trissetriz de Hípias, a distância percorrida pelo lado B’C’ é proporcional ao tempo gasto no seu percurso. De igual modo, a amplitude do arco determinado na circunferência de centro B e raio BB’ é proporcional ao tempo percorrido no percurso circular deste raio. Assim, existe proporcionalidade entre a distância retilínea percorrida pelo lado B’C’ e a amplitude angular percorrida pelo lado BB’. Assim, 
Como o segmento de reta BR é a terça parte do segmento de reta BP, também o ângulo LBC é a terça parte do ângulo ABC.